[Algorithm] 이분탐색 / Binary Search

1. 이분탐색이란?

• 이분 탐색 알고리즘은 정렬되어 있는 배열에서 탐색 범위를 절반씩 줄여가며 데이터를 탐색하는 알고리즘이다.
• 이분탐색은 결정 문제의 답이 이분적일 때 사용할 수 있는데 대표적인 예시로 카드 뽑기 문제가 있다. 결정 문제란 답이 Yes or No인 문제를 의미한다.
• 시간 복잡도 : O(logN)

카드 뽑기 문제는 1 ~ 50까지 오름차순으로 정렬된 카드묶음에서 28번 카드를 찾는 문제를 예시로 들어보겠다.
첫번째 카드부터 n번째 카드는 card[i], 우리가 찾고자 하는 카드인 28은 val로 가정한다.

이때 문제를 푸는 방법에 v[i] >= val 인가를 잡으면 답은 1~27까지는 False,  28이후로는 True가 나오게된다. 이때 우리가 찾고자 하는 값은 처음으로 card[i] >= val인 지점 즉 처음 결정 문제의 답이 True로 나오게 되는 위치이다. 이부분이 C++의 STL에 있는 lower_bound값이다.

이렇게 결정문제의 파라미터(이 경우 i, 쉽게 인덱스)에 대해 결정 문제의 답이 두 구간으로 나뉘는 것을 '이분적이다' 라고 하며 이런 경우 이분탐색을 통해 결정 문제의 답이 달라지는 경계를 찾을 수 있다.

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2. Default Logic

1. 사용하는 변수

이분탐색을 구현하기위해 필요한 변수에 대해 짧게 설명하고 변수명으로 설명을 진행할 것이다.

low : 탐색하는 구간의 최좌측값

high : 탐색하는 구간의 최우측값

mid : low와 high의 중간 값

 

2. 구현 방법

이전에 이분탐색은 결정문제의 답이 두 구간으로 나뉘는 부분을 찾는 것이라고 했다. 우선 초기상태의 low, high가 low != high기 때문에 우리가 탐색하는 구간인 [low, high]사이에 결정문제의 답이 바뀌는 구간이 무조건 있음이 보장된다. 결정 문제의 답이 바뀌는 부분은 low + 1 >= high이기 때문에 low + 1 < high인 구간 동안 [low, mid], [mid, high]로 탐색 부분을 줄여나간다. 이때 low + 1 < high를 항상 만족하기 때문에 low와 high 사이에는 항상 한개 이상의 칸이 있음이 보장된다.

(반복문을 탈출했다면 low + 1 >= high인데 low < mid < high인 mid를 대입하기 때문에 low < high이고, 두 조건을 만족하는 low, high는 low + 1 == high인 경우 밖에 없다.) 

 

이후 이분 탐색이 끝나면 low, high는 결정 문제의 답이 바뀌는 경계에 위치하게 되며, 만약 결정 문제 답의 분포가 F~ T인데 정답이 가장 큰 F라면 low를 가장 작은 T라면 high를 출력해주면 된다.

 

그림으로 알아보자

1. 경계를 포함하도록, 즉 Check(low) != Check(high)가 되도록 [low, high]를 잡는다

2. Check(low) == mid라면 low = mid, 아니라면 hi = mid를 반복한다.

3. low + 1 == hi가 되면 탈출, low, high는 경계에 위치한다.

binarySearch() {
	int low = 0;
    int high = 987654321;
    int mid;
    
    while(low + 1 < high) {
    	mid = (low + high) / 2;
        
        if(target > arr[mid])
        	low = mid;
        else
        	high = mid;
    }
    return high;
}

 

참고 : https://www.acmicpc.net/blog/view/109#comment-718

이분 탐색(Binary Search) 헷갈리지 않게 구현하기

설명을 엄청 잘해주셔서 이분 블로그를 참고해서 작성했다.

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3. 추천 문제

https://www.acmicpc.net/problem/2805

2805번: 나무 자르기

https://www.acmicpc.net/problem/1654

1654번: 랜선 자르기

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